Պարապմունք 56

Առաջադրանքներ։

1․ Գծել երեք անկյուն՝ սուր, ուղիղ, բութ: Գծել նաև դրանց յուրաքանչյուրի կից անկյունը:

2․ Նկարում պատկերված է երեք ուղիղ, որոնք հատվում են O կետում: Գտեք անկյունների գումարը՝ ∠1+∠2+∠3:

180^o

3․ Գտեք ABC անկյան կից անկյունը, եթե` ա) ∠ABC=124⁰ բ) ∠ABC=90⁰ գ) ∠ABC=53⁰

180-124=56

180-90=90

180-53=127

4․  Գտեք  hk և kl կից անկյունները, եթե` ա) ∠hk-ն 40⁰-ով փոքր է ∠kl-ից, բ) ∠hk=4∠kl, գ) ∠hk : ∠kl= 2:7

hk=70

5․ Տրված է, որ ∠1=114°,∠8=52°: Հաշվել բոլոր անկյունները:

<1=<4=114

<1+<2=180

180-114=66<2,<3

<5=<8=52

180-52=128<6,<7

6․ Գտնել ∠4, ∠3,∠1, եթե ∠2=27°

<2=<4=27

180-27=153/<3=<1

7․ Որոշել տրված գծագրում հակադիր անկյունները:

8/4,2/6,1/5,7/3:

8․ Արդյո՞ք ներքևի գծագրի ∠1-ը և ∠2-ը կից անկյուններ են:

ոչ

9․Գտնել անկյունները, եթե ∠CBD=30°

30+30=60

Պարապմունք 55

Առաջադրանքներ։

1․ Գտիր, թե ո՞ր պնդումներն են համապատասխանում C∉p գրառմանը.

• C ուղիղն անցնում է p կետով
• p ուղիղը չի անցնում C կետով
• C կետը p ուղղի կետ է
• C կետը չի գտնվում p ուղղի վրա
• C կետը գտնվում է p ուղղի վրա
• p ուղիղը անցնում է C կետով

2․ Գտիր ճիշտ պնդումները նույն հարթության վրա գտնվող կետերի և ուղիղների վերաբերյալ.

• Ոչ մի ուղղի վրա չկա երեքից ավելի կետ:
• Ցանկացած ուղղի վրա կան անվերջ թվով կետեր:
• Ցանկացած երկու կետերով անցնում է միակ ուղիղը:
• Ցանկացած երեք կետերով կարելի է տանել ուղիղ:
• Մեկ կետով կարելի է տանել միակ ուղիղը:
• Ցանկացած կետով անցնում են անվերջ թվով ուղիղներ:
• Որոշ երեք կետերով կարելի է տանել ուղիղ:
• Կա այնպիսի կետ, որով ոչ մի ուղիղ չի անցնում:

3․ Քանի՞ հատված կա հետևյալ նկարում:

9

4․ Գտիր ∢DBC-ն, եթե ∢CBA=47° և ∢ABD=90°

90-47=43

’43

5․ ՊարզիրMLK անկյան տեսակը՝

ուղիղ փռված բութ սուր

6․ CG ճառագայթը ECD անկյունը կիսում է երկու հավասար անկյունների: Գտիր GCE անկյունը, եթե ∢ECD=20°:

20:2=10

7․ Տրված է, որ՝ CG-ն կիսում է ECD անկյունը և CE-ն կիսում է FCD անկյունը: Հաշվիր DCG և FCD անկյունները, եթե ∢ECD=20°

DCG=10

FCD=40

Պարապմունք 54

Թեմա՝ Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը, բեկյալ թեմաների կրկնողություն:

1. AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին։ Գտնել այդ ուղիղների հեռավորությունը, եթե ∠DAC = 60^o, AD = 10 սմ։

5

2․ ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է BD կիսորդը։ D կետի և BC ուղղի միջև հեռավորությունը 8 սմ է։ Գտեք B գագաթի հեռավորությունը AC ուղղից։

8:2=4

3. Գծել փակ բեկյալ և բաց բեկյալ։

4․ Գծել փակ բեկյալ, որը կազմված է երեք օղակից։

 5․ Գծել փակ բեկյալ, որը կազմված է չորս օղակից։

6․ Գծել բաց բեկյալ, որը կազմված է չորս օղակից։

7․ Գծել երկու զուգահեռ ուղիղներ, որոնց հեռավորությունը լինի 5 սմ։

Երկրաչափություն

1․Քառանիստի վերաբերյալթվարկված պնդումներից ո՞րն է ճիշտ: Ընտրել ճիշտ պնդումը:

• Քառանիստի լրիվ մակերևույթը չորս քառանկյուններ են:
• Քառանիստի կողմնային մակերևույթը երեք եռանկյուններ են:
• Քառանիստի յուրաքանչյուր նիստ ուղղանկյուն է:

2․ Հետևյալնկարներից ո՞րն է քառանիստը: Նշել ճիշտ տարբերակը:

ա)

3. Ի՞նչ հատկություններ ունի հետևյալտարածաչափական պատկերը:

ա) Անվանումը՝

• քառանիստ
• կանոնավոր քառանիստ
• հավասարանիստ
• կանոնավոր եռանկյուն բուրգ
• կանոնավոր զուգահեռանիստ

բ) Նկարագիրը՝ Բոլոր չորս նիստերը հավասար  են:

գ) Հատկությունները՝

• կողմնային նիստերը ուղղահայաց են հիմքին
• բոլոր կողերը հավասար են
• բոլոր նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• բոլոր նիստերը եռանկյուններ են
• բոլոր կողմնային կողերը հավասար են
• չունի զուգահեռ նիստեր
• հիմքում հավասարակողմ եռանկյուն է
• բոլոր կողմնային նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• ունի երկու հիմք
• 4․ Տրված է TPRS քառանիստը: Որոշել բոլոր կողերի գումարը, եթե քառանիստը կանոնավոր է և նրա մի կողի երկարությունը 7.5 սմ է:

6×7,5=45

• 5․ Կանոնավոր քառանիստի կողը 18 սմ է: Հաշվել կանոնավոր քառանիստի պարագիծը։

6×18=108

• 6․ Կանոնավոր քառանիստի բոլոր կողերի գումարը 48 սմ է: Հաշվել կանոնավոր քառանիստի կողի երկարությունը։
• 48:6=8
• Պատասխան՞8

Պարապմունք 53

Առաջադրանքներ։

1․ Նշել բեկյալները:

1,2:

2․ Տրված է 3 կետ: Քանի՞ երկու կողմերով տարբեր բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են: Գծել գծագիրը;

3

3․ Առանց ինքնահատումների փակ բեկյալն ունի 4 կողմ: Կարող են արդյո՞ք նրա կողմերն ունենալ հետևյալ երկարությունները:

ա) 6 սմ, 5 սմ, 4 սմ, 3 սմ; բ) 2 սմ, 2 սմ, 3 սմ, 7 սմ:

բ

2+2=4

3+7=10

4. Տրված են 4 կետեր: Քանի՞ տարբեր բաց ու փակ (բայց առանց ինքնահատումների) բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են:

ա) Երկու կողմերով բեկյալների թիվը՝ 1,1,1,1,1,1;

բ) Երեք կողմերով բաց բեկյալների թիվը՝ 4

գ) Երեք կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 4

դ) Չորս կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 1

5. Նկարում հատվածների միջոցով պատկերված են թվանշաններ: Դրանցից որո՞նք են՝ ա) պարզ բեկյալ, բ) պարզ փակ բեկյալ։

b) 0

A:

6․ Նվազագույնը քանի՞ օղակ ունի՝ բեկյալը, փակ բեկյալը:

2

3

7․ Առնվազն քանի՞ օղակ ունի բեկյալը, եթե այն ունի մի ուղղի վրա գտնվող ոչ հարևան օղակներ: Գծագրեք այդպիսի բեկյալ:

4

8․Որքա՞ն կարող է լինել AB հատվածի երկարությունը, եթե նրա ծայրակետերը միացված են բեկյալով, որի օղակների երկարություններն են՝ ա) 6 սմ, 8սմ, 10սմ, բ) 2սմ, 3,1սմ և 5,3սմ:

6+8+10

2+3,1+5,3

9․ Բեկյալը բաղկացած է 5 հատվածից որոնց երկարություններն են 2 սմ, 5 սմ, 8 սմ, 11 սմ և 20 սմ։ Հաշվել բեկյալի երկարությունը։

Երկարությունը որոշելու համար հարկավորր է բոլոր կողմերը իրար գումարել։

46սմ։

Պարապմունք 51

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր ուղիղներն են կոչվում զուգահեռ։

2․ Գրել զուգահեռ ուղիղների հատկությունը։

3․ a և b զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը 4 սմ է, իսկ a և c զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը՝ 9 սմ։ Գտեք b և c ուղիղների հեռավորությունը։ Դիտարկել բոլոր հնարավոր դեպքերը և գծել գծագիրը։

9+4=13

9-4=5

4․ Հեռավորությունը a և b զուգահեռ ուղիղների միջև 19 սմ է, իսկ հեռավորությունը  a և c  զուգահեռ ուղիղների միջև՝ 34 սմ: Որոշել  b և c ուղիղների փոխադարձ դասավորվածությունը: Որքա՞ն է հեռավորությունը b և c ուղիղների միջև: Դիտարկել բոլոր հնարավոր դեպքերը և գծել գծագիրը։

19+34=53

34-19=15

5․ Հայտնի է, որ ABC եռանկյան AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը գտնվում է ABC եռանկյան AC կողմի վրա: ա) Որոշել այն հատվածների երկարությունները, որոնց D կետով բաժանվում է AC հատվածը, եթե AC=60 սմ:

բ)  Պարզել ADB եռանկյան տեսակը:

• հավասարակողմ
• հավասարասրուն
• ոչ հավասարասրուն
• ուղղանկյուն
• հնարավոր չէ պարզել

գ) Պարզել CDB եռանկյան տեսակը:

• հավասարակողմ
• հավասարասրուն
• ոչ հավասարասրուն
• ուղղանկյուն
• հնարավոր չէ պարզել

6․ AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին։ Գտեք այդ ուղիղների հեռավորությունը, եթե ∠ADC = 30^o, AD = 8 սմ։

8:2=4

7․ Գտնել ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե A անկյան կիսորդը տրոհում է BC կողմը 45,6 սմ և 7,85 մ երկարությամբ հատվածների։

45,6+7.85=52.94

52.94+45,6)*2=198.1

Պարապմունք 50

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրել միջնուղղահայացի սահմանումը։

Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:

2․ Գրել միջնուղղահայացի հատկությունը։

Թեորեմ: Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

3․ Գրել կիսորդի սահմանումը։

Անկյան կիսորդի հատկությունը

Անկյան գագաթից ելնող և այն երկու հավասար անկյունների բաժանող ճառագայթը կոչվում է անկյան կիսորդ։

Թեորեմ: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:

4․ Գրել միջնուղղահայացի հատկությունը։

5․ Չփռված O անկյան կիսորդի M կետից տարված են այդ անկյան կողմերին ուղղահայացներ՝ MA-ն և MB-ն: Գտի՛ր MA-ն, եթե MB=12:

12

6․ ABC եռանկյան AA₁ և BB₁ կիսորդները հատվում են M կետում: Գտնել ACM և BCM անկյունները, եթե ∠AMB=136⁰։

180-136=44

44+44=88

180-88=92

92:2=46

7․ ABC եռանկյան BC կողմի միջնուղղահայացը D կետում հատում է AC կողմը: Գտնել՝

ա) AD-ն և CD-ն, եթե BD=5սմ, AC=8,5սմ,

CD=BD

DE միջնաուղահայաց է և DC=5սմ

AC=8,5

AD=8,5-5=3,5

բ) AC-ն, եթե BD=11,4սմ, AD=3,2 սմ:

AC=BD+AC

11,4+3,2=14,6

8․ BK-ն ABC անկյան կիսորդն է; Գտնել Kկետի հեռավորությունը անկյան կողմերից, եթե BK=14 սմ, ∠B=60^օ:

9. Ըստ գծագրի տվյալների՝ գտնել CAD և ADE անկյունները․

90

10. ABC եռանկյան ∠A և ∠B անկյունների կիսորդները հատվում են K կետում: Այդ կետը միացված է C գագաթի հետ: Որոշել ∠BCK-ն, եթե  ∠AKB=130°-ի:

130

Առաջադրանքներ։

1․Նշել այն հատվածը, որը X կետի հեռավորությունն է a ուղղից։

XG

2․Հեռավորությունը a և b զուգահեռ ուղիղների միջև 19 սմ է, իսկ հեռավորությունը a և c զուգահեռ ուղիղների միջև՝ 34 սմ:

ա Որոշել b և c ուղիղների փոխադարձ դասավորվածությունը:

Զուգահեռ են

բ Որքա՞ն է հեռավորությունը b և c ուղիղների միջև:

34-19=15

3․ T կետից ուղղին տարված են TP ուղղահայացը և TR թեքը: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը և որոշել T կետի հեռավորությունը ուղղից, եթե ուղղահայացի և թեքի երկարությունների գումարը 32 սմ է, իսկ դրանց տարբերությունը՝ 2 սմ:

4․ Հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AM=29 սմ երկարությամբ միջնագիծը: Հաշվել M կետի հեռավորությունը AC կողմից: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը։

29:2=14,5

5․ ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: BM ուղիղը հատում է AC հիմքը N կետում: Որոշել  AN−ը, եթե AC=50 սմ:

50:2=25

6․ ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: D կետի և AC ուղղի միջև հեռավորությունը 10 սմ է: Գտեք A գագաթի հեռավորությունը BC ուղղից:

7․ CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 33 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 5 սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

33-5=28

8․ CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտնել ∠ECF-ը, եթե ∠D=64⁰:

180սմ-64սմ=116սմ

116սմ:2=58սմ

<C=<E=58սմ

58սմ+90սմ=148սմ

180սմ-148սմ=32սմ

Պարապմունք 48

Առաջադրանքներ։

1. Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 16 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 2 սմ: Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից:

16-2:2=7

7+2=9

AK=7

Am=9

 2. CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 31 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 3սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

CE+CD=32

CE-CD=3

31-3=28

28:2=14

CE=14+3=17

CD=14

3. Գտնել C կետի հեռավորությունը a ուղղից։

Քանի որ եռանկյուն ABC-ն հավասարասրուն է, ապա CK բարձրությունը կլինի նաև միջնագիծ և կիսորդ։ Հետևաբար՝ АК=KB=7սմ։ Եռանկյուն AKC-ն հավասարասրուն է, այստեղից KC=AK=7սմ։

4․ Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը AC-ից։

4

5. Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը a ուղղից։

21:2=10,5

6. CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք ∠ECF-ը, եթե ∠D=54⁰:

180-54=126

126:2=63

63:2=34,5

7. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6 սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը՝ 15,2 սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

Հավասարասրուն անկյան մեջ BDԲարձրությունը նաև կիսորդ է, այսինքն՝<B-ն Բաժանում է 2 =մասի:
Առաջացախ ուղղ. եռանկյան հատկութայն 30⁰ ի անկայն դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին :Այսինքն՝ <C=30⁰<C=<A=30⁰
<DBC=180-(90+30)=60⁰,<b=2*60=120
Պատ.՝120⁰,30⁰,30⁰

8. ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140⁰:

Երկրաչափություն

Առաջադրանքներ:

1. Նկարում BC=AD, BK=DP, DP⟂AB, BK⟂CD: Ապացուցել, որ AP=CK:

 Քանի,որ APD BKC եռանկյունները ուղղանկյուն եռանկյունններ են և իրար հավասար են ըստ 4-րդ հատկության:Ապա այդ կողմերը հավասար են;

2․ Նկարում BC=AD, BD-ն ուղղահայաց է և AB-ին, և CD-ին։ Ապացուցել, որ AB=CD:

Եթե նրանք ուղղահյաց են ապա նրանք նաև ուղղանկյուն եռանկյուններ են ,այսինքն նրանք իրար հավասար են ըստ եռանկյունների վերջին հայտանիշի:

3․ Նկարում ∠BAC= ∠DCA, ∠CAD=∠ACB=90^o: Ապացուցել, որ ∠ADC=∠ABC

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ մի եռանկյան սուր անկյունը հավասար է մյուս եռանկյան սուր անկյանը, ապա մյուս սուր անկյունները իրար հավասար են։

4․ Նկարում ∠C=∠D=90^o, ∠ABC=∠DAB: Ապացուցել, որ AD=CB:

Ըստ եռանկյան հավասարության երկրորրդ հայտանիշի նրանք իրար հավասար են:

5․Նկարում BP=CK, AP=KD, ∠APB=∠DKC=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD

 Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջն ու ներքնաձիգը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի էջին ու ներքնաձիգին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

6․ ABC եռանկյան մեջ BK բարձրությունը հավասար է BC կողմի կեսին, ∠A=80^o: Գտնել եռանկյան մյուս անկյունները:

50